Introduction
Les symboles de Christoffel sont des outils mathématiques essentiels dans l'étude de la géométrie différentielle et de la relativité générale. Ils permettent de décrire la courbure d'un espace et de généraliser les notions de dérivée et de géodésique à des espaces courbes. Cet article explore la définition des symboles de Christoffel, leurs propriétés, leur rôle dans le calcul de la courbure et leurs applications dans la théorie de la relativité générale.
Définition des symboles de Christoffel
Les symboles de Christoffel, notés $\Gamma{ij}^k$, sont des coefficients qui apparaissent dans l'expression de la dérivée covariante d'un champ vectoriel. Ils dépendent de la métrique $g{ij}$ de l'espace considéré et de ses dérivées premières. Il existe deux types de symboles de Christoffel :
Symboles de Christoffel de première espèce :
$\Gamma{ijk} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g{ik}}{\partial x^j} + \frac{\partial g{jk}}{\partial x^i} - \frac{\partial g{ij}}{\partial x^k} \right)$
Symboles de Christoffel de seconde espèce :
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$\Gamma{ij}^k = g^{kl} \Gamma{ijl} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right)$
où $g^{kl}$ est l'inverse de la métrique $g{kl}$, c'est-à-dire $g^{kl} g{lm} = \delta^km$ ($\delta^km$ étant le symbole de Kronecker).
Les symboles de Christoffel de seconde espèce sont les plus couramment utilisés, et nous nous concentrerons sur ceux-ci dans la suite de cet article.
Propriétés des symboles de Christoffel
- Symétrie : Les symboles de Christoffel sont symétriques par rapport à leurs deux indices inférieurs : $\Gamma{ij}^k = \Gamma{ji}^k$. Cela découle de la symétrie de la métrique $g_{ij}$. Les termes d'une matrice symétrique.
- Transformation : Les symboles de Christoffel ne sont pas des tenseurs. Leurs règles de transformation sous un changement de coordonnées sont plus complexes que celles des tenseurs.
Dérivée covariante
La dérivée covariante est une généralisation de la dérivée usuelle qui prend en compte la courbure de l'espace. Pour un champ vectoriel $V^i$, la dérivée covariante est définie par :
$\nablaj V^i = \frac{\partial V^i}{\partial x^j} + \Gamma{jk}^i V^k$
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De même, pour un champ covariant $W_i$, la dérivée covariante est définie par :
$\nablaj Wi = \frac{\partial Wi}{\partial x^j} - \Gamma{ij}^k W_k$
La dérivée covariante d'un tenseur s'obtient en appliquant les règles ci-dessus à chaque indice du tenseur.
Géodésiques
Une géodésique est une courbe qui généralise la notion de ligne droite à un espace courbe. C'est le chemin le plus court entre deux points. L'équation d'une géodésique est donnée par :
$\frac{d^2 x^i}{d \tau^2} + \Gamma_{jk}^i \frac{d x^j}{d \tau} \frac{d x^k}{d \tau} = 0$
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où $\tau$ est un paramètre affine le long de la courbe.
Courbure
Les symboles de Christoffel interviennent dans le calcul du tenseur de Riemann, qui est une mesure de la courbure de l'espace. Le tenseur de Riemann est défini par :
$R{ijkl} = \frac{\partial \Gamma{il}^m}{\partial x^k} - \frac{\partial \Gamma{ik}^m}{\partial x^l} + \Gamma{il}^n \Gamma{nk}^m - \Gamma{ik}^n \Gamma_{nl}^m$
Les sont les composantes du tenseur de courbure.
À partir du tenseur de Riemann, on peut définir le tenseur de Ricci $R_{ij}$ et la courbure scalaire $R$ :
$R{ij} = R{ikj}^k$$R = g^{ij} R_{ij}$
Applications en relativité générale
En relativité générale, l'espace-temps est décrit par une variété pseudo-riemannienne à quatre dimensions, dont la métrique est déterminée par la distribution de matière et d'énergie. Les symboles de Christoffel jouent un rôle central dans la formulation des équations d'Einstein, qui relient la courbure de l'espace-temps à la densité d'énergie et de quantité de mouvement.
Équations d'Einstein
Les équations d'Einstein s'écrivent :
$G{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T{\mu\nu}$
où :
- $G{\mu\nu} = R{\mu\nu} - \frac{1}{2} g{\mu\nu} R$ est le tenseur d'Einstein. Le tenseur $S{ij}$ est appelé tenseur d’Einstein. Ricci, le tenseur d’Einstein est également symétrique.
- $R_{\mu\nu}$ est le tenseur de Ricci. Ricci est symétrique.
- $g_{\mu\nu}$ est le tenseur métrique.
- $R$ est la courbure scalaire.
- $T_{\mu\nu}$ est le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la densité d'énergie et de quantité de mouvement.
- $G$ est la constante gravitationnelle.
- $c$ est la vitesse de la lumière.
Ces équations fondamentales dans les équations de la relativité générale.
Géodésiques en relativité générale
En relativité générale, la trajectoire d'une particule en chute libre est une géodésique de l'espace-temps. L’idée nouvelle et perturbante qu’Einstein déduit du principe d’équivalence, c’est que la trajectoire naturelle des corps est la chute libre. Une conséquence amusante de ça, c’est que quand vous êtes affalés dans votre canapé, vous n’êtes pas au repos. Dans la vision newtonienne classique, vous subissez deux forces qui se compensent : votre poids et la réaction du canapé. En relativité générale, vous ne subissez que la réaction du canapé, dirigée vers le haut. Et vous n’êtes plus au repos puisque la réaction vous empêche de suivre votre trajectoire naturelle qui serait de continuer à tomber vers la Terre. Le canapé vous dévie de votre géodésique, et par rapport à elle il vous fait accélérer vers le haut !
Exemples de solutions des équations d'Einstein
Il existe de nombreuses solutions aux équations d'Einstein, chacune décrivant une situation physique particulière. En effet je vous laisse vous convaincre que le vecteur vitesse (avec sa direction et son norme) est simplement une direction dans l’espace-temps. Nous allons donc voir quelques exemples de solutions.
- Métrique de Schwarzschild : Cette métrique décrit le champ gravitationnel à l'extérieur d'une masse sphérique statique. Elle décrit le champ gravitationnel de l'exterieur d’une masse statique, éventuellement oscillante, qui s’écroule ou s’expand de façon sphériquement symétrique. La métrique de Schwarzschild est un exemple classique d’espace à symétrie sphérique. A ce titre, il est le produit direct d’une sphère par une variété lorentzienne \mathcal N de dimension deux : \mathbb S^2\times\mathcal N. Ceci est du à l’action du groupe des rotations SO(3) sur l’espace. C’est la première solution exacte des équations d’Einstein, établie en 1915 par K. Une complication importante : au rayon de Schwarzschild r^{}_{s}=2M, les coordonnées r et t crééent une singularité mathématique (ce n’est pas une singularité physique) qui correspond à l’horizon des évènements (rayon où même la lumière ne peut s’échapper).
- Métrique de Kerr : Cette métrique décrit le champ gravitationnel à l'extérieur d'un trou noir en rotation. La métrique de Kerr décrit parfaitement les trous noirs isolés en rotation. Si a=0, on retrouve la métrique de Schwarzschild. Si a^2=M^2, le trou noir devient extrême (cas limite). Les cas extrêmes sont intéressants car permettent de faire le lien entre trous noirs “classiques” et les hypothétiques singularités nues. Une singularité est nue si elle n’a pas d’horizon des évènements et elle devient donc visible. Elle est équivalente à un trou noir de densité infinie. Cette métrique montre les effets que peut créer un fort champ gravitationnel, créant des boucles temporelles par exemple. Les trous noirs effectuent probablement une rotation et ne sont pas électriquement chargés car l’univers semble être électriquement neutre. La différence la plus notable qu’apporte un trou noir chargé est qu’il contient un pont d’Einstein-Rosen (trou de ver) qui enverrai vers un autre point de l’univers !
- Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) : Cette métrique décrit un univers homogène et isotrope en expansion ou en contraction. Ainsi, le modèle cosmologique de FLRW est une bonne approximation.
Courbure et matière
Une question qu’on peut se poser, c’est pourquoi diable l’équation qui lie courbure et matière est (G{\mu\nu} = T{\mu\nu}) plutôt que (R{\mu\nu} = T{\mu\nu}). J’en profite pour glisser qu’en Relativité générale, l’énergie n’est plus conservée au sens classique du terme, mais que c’est cette relation plus permissive qui la remplace.
Difficultés de résolution
Je l’ai mentionné brièvement, on ne peut explicitement résoudre l’équation d’Einstein que dans des cas très simple. La méthode de résolution est en gros la suivante : on identifie les symétries du problème, et on en déduit une forme réduite de la métrique, paramétrisée de façon simple. On injecte cette forme dans l’équation qui donne les symboles de Christoffel, puis dans celle qui donne le tenseur de Riemann et enfin le tenseur de Ricci et d’Einstein.
Exemples supplémentaires
Espace de Sitter et Anti-de Sitter
Si \Lambda\neq 0, alors même vide de matière-énergie, l’espace est courbé par l’énergie sombre. L’espace de Sitter. L’espace anti-de Sitter.
Espace Ricci-plat
Si \Lambda=0, l’espace est Ricci-flat. Encore une fois, cela ne veut pas dire qu’il n’y a aucune courbure, le tenseur de Riemann n’est pas nécessairement nul.
Espace plat et Euclidien
Dans le cas k=0, l’espace est plat et même euclidien.
Espace de courbure positive constante
k=1 définit un espace de courbure positive constante, c’est même une hypersphère.
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