Introduction
Le calcul tensoriel est un outil puissant en mathématiques et en physique, permettant d'étudier les transformations des composantes des tenseurs lors de changements de systèmes de coordonnées et d'en déduire des invariants. Au cœur de cette discipline se trouve le concept de produit tensoriel, et plus spécifiquement, le produit tensoriel contracté. Cet article se propose d'explorer en détail la définition, les propriétés et les applications de cette opération fondamentale.
I. Algèbre Tensorielle : Fondements et Définitions
A. Changement de Repère et Vecteurs Covariants/Contravariants
Dans le cadre du calcul tensoriel, il est crucial de comprendre comment les composantes des vecteurs et des tenseurs se transforment lors d'un changement de repère. On distingue deux types de vecteurs : les vecteurs covariants et les vecteurs contravariants. Les composantes contravariantes d'un vecteur se transforment de manière inverse aux vecteurs de base, tandis que les composantes covariantes se transforment de la même manière que les vecteurs de base.
B. Indices Muets et Libres
La convention d'Einstein, qui consiste à omettre le symbole de sommation lorsqu'un indice apparaît à la fois en position supérieure (contravariante) et inférieure (covariante) dans un terme, simplifie considérablement les notations. Un tel indice est dit "muet" car il est sommé, tandis que les indices qui n'apparaissent qu'une seule fois dans un terme sont dits "libres".
C. Formes Linéaires, Espace Dual et Tenseurs Covariants
Une forme linéaire est une application linéaire d'un espace vectoriel dans le corps des scalaires. L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel forme l'espace dual. Les tenseurs covariants sont des généralisations des formes linéaires, étant des applications multilinéaires qui prennent en argument plusieurs vecteurs et renvoient un scalaire.
D. Produit Contracté de Deux Vecteurs
Le produit contracté de deux vecteurs est une opération qui prend un vecteur covariant et un vecteur contravariant et renvoie un scalaire. Plus précisément, si on a un vecteur covariant $\mathbf {x}=x{i}\,\beq {e^{i}}$ et un vecteur contravariant $\mathbf {y}=y{j}\,\beq {e^{j}}$, leur produit contracté est donné par $x_i y^i$ (sommation sur l'indice $i$).
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E. Formes Multilinéaires et Tenseurs (Covariants, Contravariants, Mixtes)
Une forme multilinéaire est une application qui prend plusieurs vecteurs en argument et renvoie un scalaire, et qui est linéaire en chaque argument. Les tenseurs sont des généralisations des formes multilinéaires. On distingue trois types de tenseurs :
- Tenseurs covariants: ils ont tous leurs indices en position inférieure.
- Tenseurs contravariants: ils ont tous leurs indices en position supérieure.
- Tenseurs mixtes: ils ont à la fois des indices en position supérieure et inférieure. Par exemple, les composantes mixtes sont $u^{ij}_{k}$.
F. Définition Générale du Tenseur
Un tenseur est un objet mathématique qui se transforme d'une manière spécifique lors d'un changement de coordonnées. Plus précisément, les composantes d'un tenseur dans un nouveau système de coordonnées sont liées aux composantes dans l'ancien système de coordonnées par une transformation linéaire qui dépend des matrices de transformation entre les deux systèmes de coordonnées. La caractéristique fondamentale de ce système est ce que l'on appelle la notion d'invariance. Le système de coordonnées associé n'est pas nécessairement géométrique, mais il faut cependant que les expressions et les propriétés trouvées aient une signification géométrique. D'un point de vue strictement mathématique, l'objet du calcul tensoriel est donc d'étudier les transformations des composantes des tenseurs par changements de systèmes de coordonnées et d'en déduire des invariants.
II. Tenseur et Géométrie Métrique
A. Espace Réel Euclidien : Produit Intérieur et Norme
Dans un espace réel euclidien, on peut définir un produit intérieur (ou produit scalaire) entre deux vecteurs, qui est un scalaire. La norme d'un vecteur est alors définie comme la racine carrée du produit intérieur du vecteur avec lui-même.
B. Composantes Covariantes d'un Tenseur
Les composantes covariantes d'un tenseur sont les composantes qui se transforment de la même manière que les vecteurs de base lors d'un changement de coordonnées.
C. Produit Intérieur et Norme, Produit Contracté
Le produit intérieur de deux vecteurs peut être exprimé en termes de leurs composantes covariantes et contravariantes, en utilisant le produit contracté.
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D. Tenseurs Euclidiens
Un tenseur euclidien est un tenseur défini dans un espace euclidien. Considérons un tenseur euclidien $\mathbf {U}$ de composantes contravariantes $u^{i{1}\,i{2}\,…,\,i_{p}}$.
III. Tenseurs Particuliers : Symétrie et Antisymétrie
A. Tenseurs et Formes Multilinéaires Symétriques
Un tenseur est dit symétrique si ses composantes sont invariantes par permutation de ses indices. Une forme multilinéaire est dite symétrique si sa valeur ne change pas lorsqu'on permute ses arguments.
B. Tenseurs et Formes Multilinéaires Antisymétriques
Un tenseur est dit antisymétrique si ses composantes changent de signe lorsqu'on permute deux de ses indices. Une forme multilinéaire est dite antisymétrique si sa valeur change de signe lorsqu'on permute deux de ses arguments.
IV. Techniques de l'Algèbre Tensorielle
A. Égalité de Tenseurs
Deux tenseurs sont égaux si et seulement si toutes leurs composantes correspondantes sont égales dans un même système de coordonnées.
B. Opérations Linéaires
Les tenseurs peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires, de la même manière que les vecteurs. Les tenseurs vont suivre la règle classique d’addition des vecteurs. covariantes de leur somme.
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C. Produit Ordinaire (Tensoriel)
Le produit tensoriel de deux tenseurs est un nouveau tenseur dont l'ordre est la somme des ordres des deux tenseurs initiaux. On appelle produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Considérons les composantes de deux tenseurs, $u^{ijk}$ et $v{lmrs}$ par exemple. leur faire correspondre un tenseur d'ordre cinq. Le produit tensoriel $\mathbf {T}$ est un tenseur de l’espace produit tensoriel $E{n}^{(5)}=E{n}^{(2)}\otimes E{n}^{(3)}$.
D. Contraction
La contraction est une opération qui réduit l'ordre d'un tenseur en sommant sur une paire d'indices, l'un covariant et l'autre contravariant. On obtient un tenseur d’ordre $(p-2)$. à partir d’un tenseur d’ordre $p$.
E. Critère Général de Tensorialité
Le critère général de tensorialité est un outil permettant de déterminer si un ensemble de quantités forme un tenseur. contracté, on obtient un critère de tensorialité qui généralise le précédent. contracté, est un scalaire, pour des choix arbitraires des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$. Ce critère se généralise à des tenseurs d’ordre quelconque.
V. Le Produit Tensoriel Contracté : Définition et Propriétés
A. Définition du Produit Tensoriel Contracté
Le produit tensoriel contracté est une combinaison du produit tensoriel et de l'opération de contraction. Il consiste à d'abord former le produit tensoriel de deux tenseurs, puis à contracter un ou plusieurs paires d'indices. On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4…, n fois. Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points superposés (autant de point que de contraction dans le produit).
B. Exemple Illustratif
Considérons deux tenseurs, $A^{ij}$ et $B{jk}$. Leur produit tensoriel contracté sur les indices $j$ est donné par $C^ik = A^{ij} B_{jk}$ (sommation sur l'indice $j$). Le résultat est un tenseur d'ordre 2. Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur.
C. Importance de l'Ordre des Opérations
L'ordre dans lequel on effectue le produit tensoriel et la contraction est important. En général, le produit tensoriel contracté n'est pas commutatif.
D. Critère de Tensorialité et Produits Contractés
L'opération de contraction joue un rôle crucial dans le critère de tensorialité. Si le produit contracté d'un ensemble de quantités avec un tenseur connu donne un tenseur, alors l'ensemble de quantités initial est également un tenseur.
VI. Applications du Produit Tensoriel Contracté
A. Physique : Tenseur Métrique et Relativité Générale
En relativité générale, le tenseur métrique est un tenseur fondamental qui décrit la géométrie de l'espace-temps. Le produit tensoriel contracté est utilisé pour calculer la courbure de l'espace-temps, qui est liée à la gravitation.
B. Mécanique des Milieux Continus : Tenseur des Contraintes
En mécanique des milieux continus, le tenseur des contraintes décrit les forces internes qui agissent à l'intérieur d'un matériau. Le produit tensoriel contracté est utilisé pour calculer les forces résultantes sur une surface donnée.
C. Traitement d'Images et Apprentissage Machine
Dans le traitement d'images et l'apprentissage machine, les tenseurs sont utilisés pour représenter des données multidimensionnelles. Le produit tensoriel contracté est utilisé pour effectuer des opérations de convolution et de pooling, qui sont essentielles pour l'extraction de caractéristiques.
VII. Exemples Concrets
A. Produit Contracté de Deux Vecteurs
Soit d’autre part, des vecteurs $\beq {x}=x{i}\,\beq {e^{i}}$, $\beq {y}=y{j}\,\beq {e^{j}}$, $\beq {z}=z^{k}\,\beq {e_{k}}$.
B. Application à un Tenseur Euclidien
Considérons un tenseur euclidien $\mathbf {U}$ de composantes contravariantes $u^{i{1}\,i{2}\,…,\,i_{p}}$.
C. Vérification de la Nature Tensorielle
Les composantes du tenseur sont notées $u'^{lm}$ dans la nouvelle base $\mathbf {e'{l}}$. alors que les quantités $u^{ij}{k}$ qui figurent dans ce produit, sont tensorielles.
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