Introduction
Le principe de moindre action est un concept fondamental en physique, servant de pierre angulaire pour la formulation des lois de la nature. Il stipule que le mouvement réel d'un système physique entre deux points dans l'espace-temps est celui qui minimise une quantité appelée l'action. Ce principe transcende les branches de la physique classique et quantique, offrant une perspective unifiée sur la dynamique des systèmes.
Genèse et Évolution du Principe
Les premières réflexions de Poincaré sur l'optique et l'électrodynamique
L’intérêt de Henri Poincaré pour les théories optiques et électrodynamiques, et le principe de mouvement relatif, date de ses premiers cours à la Sorbonne dans le cadre de sa chaire de physique mathématique et calcul des probabilités. En 1889, paraît Leçons sur la théorie mathématique de la lumière, vol. 1 [1889], édité par son ancien élève Jules Blondin. Poincaré s’intéresse dans le chapitre VIII « Aberration » à la formule de Fresnel [1818] vérifiée par Fizeau [1851], alors interprétée comme un entraînement partiel de l’éther par les corps réfringents.
La formule de Fresnel et l'éther
Cette formule précise que la vitesse des ondes lumineuses traversant un milieu réfringent en mouvement, rapportée à des axes immobiles (référentiel de l’éther), doit être v = c/n + V(1 − 1/n2), où n est l’indice de réfraction du milieu, c la vitesse de la lumière dans le vide, c/n la vitesse de la lumière dans le corps au repos et V sa vitesse par rapport à l’éther. où A'B' et T' sont respectivement la distance projetée dans la direction du mouvement entre deux points du rayon et la durée du trajet dans le corps au repos, T désignant la durée dans l’éther. généralisant ainsi la conclusion de Fresnel selon laquelle « le mouvement de notre globe ne doit avoir aucune influence sensible sur la réfraction apparente » [Fresnel 1818, 633]. En un mot les phénomènes optiques ne peuvent mettre en évidence que des mouvements relatifs par rapport à l’observateur de la source lumineuse et de la matière pondérable.
Contributions ultérieures de Poincaré
Paraissent ensuite en 1890 Électricité et Optique, vol. 1, rédigé par Jules Blondin et en 1891, le Vol. 2, rédigé par Bernard Brunhes (traduits en allemand en 1891-1892 par les assistants de Helmholtz à Berlin). Une seconde édition, largement réactualisée avec les théories de Hertz et de Lorentz, issue des cours de Poincaré de 1899, paraît en 1901 [Poincaré 1901]. Ces volumes sont disponibles dans les bibliothèques des universités et grandes écoles d’ingénieurs à travers le monde. Poincaré publie aussi une série de quatre articles dans la revue de référence pour ingénieurs l’Éclairage électrique en 1895 où il examine des théories électrodynamiques récentes.
Le Jubilé de Lorentz et la réaction de Poincaré
L’occasion lui est donnée d’apporter une contribution originale et essentielle à l’édifice de ces théories, à l’occasion du vingt-cinquième anniversaire de la thèse de doctorat du physicien hollandais Hendrik Anton Lorentz (le « Jubilé »), qui a lieu à Leyde le 11 décembre 1900. Poincaré est invité par Heike Kammerlingh Onnes à rédiger un article pour le volume qui sera remis à Lorentz [Walter, Nabonnand et al. 2016, 362-364]. En septembre 1900, il écrit à Onnes : « Je ne demande pas mieux que de collaborer au Jubelschrift […]. Mais je vous demanderai un peu de temps avant de vous donner le titre de ce travail ; cela exige quelque réflexion. » Poincaré envoie quelques semaines plus tard, le 10 novembre 1900, un mémoire détaillé et technique de 27 pages [Poincaré 1900a]. Il annonce, avec le titre même de son article « La théorie de Lorentz et le principe de réaction », qu’il va discuter une « objection » qu’il avait formulée en 1895 : la force introduite par Lorentz (q(\vec{E}\ +\vec{v}\ \wedge\vec{B}\,)), s’exerçant sur des charges électriques libres de se déplacer dans l’éther, viole le principe de réaction de la mécanique newtonienne car ces charges ne réagissent pas en retour sur l’éther, support des champs.
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Incompatibilités et défis théoriques
Poincaré constate dans le second article [Poincaré 1895a, 289-295] l’incapacité de certaines théories électrodynamiques à rendre compte de « l’entraînement partiel des ondes » lumineuses dans les milieux réfringents, i.e., de la formule de Fresnel et du principe de mouvement relatif. La théorie de Hertz de 1890 [voir par exemple Poincaré 1901, 345-362] impliquant un entraînement total de l’éther est de fait d’emblée condamnée, mais elle présente un avantage aux yeux de Poincaré : sa compatibilité avec le principe de réaction de la mécanique newtonienne. La théorie de Helmholtz de 1892 de la dispersion [voir par exemple Poincaré 1901, 592-599] rend compte de la formule de Fresnel quand on l’applique à un éther immobile dans lequel la matière se déplace, mais n’est d’après Poincaré pas compatible avec la conservation de la charge.
La théorie de Lorentz et le principe de réaction
Dans ces théories (Larmor, Helmholtz, Thomson…), l’éther a différentes propriétés (élastiques, rotationnelles…), mais Poincaré relève que la théorie de Lorentz se singularise. Sans le préciser, il se réfère à [Lorentz 1892] et ne semble pas avoir pris connaissance de la théorie des « états correspondants » [Lorentz 1895]. La théorie de Lorentz de 1892 explique naturellement (avec la force de Lorentz) la formule d’entraînement de Fresnel, et, note Poincaré, « rend compte du principe de la conservation de l’électricité » puisqu’elle repose sur l’idée « fondamentale » qu’un « très grand nombre de petites particules portant des charges électriques qui leur sont invariablement liées [se déplaçant librement dans l’éther], sont disséminées dans le volume des conducteurs et des diélectriques ». Malheureusement il reste une difficulté grave : il n’y a plus égalité entre l’action et la réaction. Nous notons dans la suite PRN (Principe de Réaction Newtonien) le « principe de l’action et de la réaction » de la mécanique newtonienne, qui s’applique à la matière seule. Il s’agit de la « troisième loi » de Newton, plus fondamentale aux yeux de Poincaré que la seconde (\vec{F}\,=\,d\vec{p}\,\ /dt), et qui est généralisée à la conservation de la quantité de mouvement d’un système mécanique isolé. L’égalité de l’action et de la réaction n’a, d’ailleurs, jamais été démontrée expérimentalement dans des cas semblables [l’électrodynamique], et il n’y a ici aucune difficulté si l’on ne tient pas à étendre ce principe au-delà des faits qui l’ont suggéré [la mécanique newtonienne].
L'éther et le principe de Newton
Considérons un petit conducteur A chargé positivement et entouré d’éther. Supposons que l’éther [immobile] soit parcouru par une onde électromagnétique et qu’à un certain moment cette onde atteigne A, la force électrique due à la perturbation agira sur la charge de A et produira une force pondéromotrice agissant sur le corps A. Cette force pondéromotrice ne sera contrebalancée au point de vue du principe de l’action et de la réaction [PRN] par aucune autre force agissant sur la matière pondérable. Dans un diélectrique comme l’air, Poincaré précise que « la réaction subie par l’air n’est qu’une très faible fraction de l’action subie par le corps A » (ce qu’il détaillera dans le Jubilé de 1900).
La recherche d'une théorie satisfaisante
Poincaré cherche à mieux cerner cette cause dans son troisième article. On peut se demander si cela tient à ce que ces théories sont incomplètes ou si ces trois conditions ne sont réellement pas compatibles, ou ne le deviendraient que par une modification profonde des hypothèses admises. Poincaré développe les calculs relatifs à la théorie de Hertz, considérée comme un cas d’école. Il faut donc renoncer à développer une théorie parfaitement satisfaisante et s’en tenir provisoirement à la moins défectueuse de toutes qui paraît être celle de Lorentz. Il me paraît bien difficile d’admettre que le principe de réaction soit violé, même en apparence, et qu’il ne soit plus vrai si l’on envisage seulement les actions subies par la matière pondérable et si on laisse de côté la réaction de cette matière sur l’éther. Il faudra donc un jour ou l’autre […] briser le cadre où nous cherchons à faire rentrer à la fois les phénomènes optiques et les phénomènes électriques.
Le principe de mouvement relatif étendu
C’est le moment pour lui d’établir dans ses conclusions un lien avec le « principe de mouvement relatif » étendu [PMRE]. ce qu’il notait déjà en 1889 (cf. section 1). Il rappelle que les théories (hormis celle de Hertz) « rendent bien compte de cette loi » à condition de négliger la dispersion et les termes en V2/c2 (même si « cela ne suffit pas ; la loi sembl[ant] être vraie même sans ces restrictions ainsi que l’a prouvé une récente expérience de M. Michelson »). Peut-être les deux lacunes seront-elles comblées en même temps. Comment la théorie électrodynamique de Lorentz peut-elle violer le PRN et être compatible avec le PMRE (du moins au premier ordre en V/c) si les principes de réaction et de relativité vont de pair ? Je pourrais dire que les pages qui vont suivre sont plutôt de nature à atténuer qu’à aggraver cette objection. Nous verrons (cf. section 6) que c’est en 1905 que Poincaré considère avoir donné sa « pleine cohérence » à la théorie de Lorentz. En 1900, il ne peut que se placer au premier ordre en V/c, alors qu’il attend une solution générale comme il l’écrivait dans le chapitre VI de son cours de 1899 Électricité et Optique.
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La dépendance des phénomènes optiques et le mouvement relatif
[…] je regarde comme très probable que les phénomènes optiques ne dépendent que des mouvements relatifs des corps matériels en présence, sources lumineuses ou appareils optiques et cela non pas aux quantités près de l’ordre du carré ou du cube de l’aberration, mais rigoureusement. À mesure que les expériences deviendront plus exactes, ce principe sera vérifié avec plus de précision. […] une théorie bien faite devrait permettre de démontrer le principe d’un seul coup dans toute sa rigueur. La théorie de Lorentz ne le fait pas encore. De toutes celles qui ont été proposées, c’est elle qui est le plus près de le faire. On peut donc espérer de la rendre parfaitement satisfaisante sous ce rapport sans la modifier trop profondément.
Intervention au Congrès international de Physique
Après cette précision, revenons avec Poincaré sur son intervention au Congrès international de Physique d’août 1900 [1900b] à laquelle il nous renvoie dans l’introduction du Jubilé. L’honneur lui revient alors d’ouvrir le congrès en abordant la « question primordiale, qui domine toutes les autres », comme le commentent les éditeurs dans leur avertissement, avec son Rapport intitulé « Relation entre la physique expérimentale et la physique mathématique ». On peut concevoir cependant des expériences qui nous le feraient toucher [l’éther] de plus près encore. Supposons que le principe de Newton, de l’égalité de l’action et de la réaction, ne soit plus vrai si on l’applique à la matière seule et qu’on vienne à le constater. L’éther acquerrait alors une réalité physique. Ou bien encore je suppose que l’on reconnaisse que les phénomènes optiques et électriques sont influencés par le mouvement de la Terre. On serait conduit à conclure que les phénomènes pourraient nous révéler non seulement les mouvements relatifs des corps matériels, mais ce qui semblerait être leurs mouvements absolus. Il faudrait bien encore qu’il y eût un éther, pour que ces soi-disant mouvements absolus ne fussent pas leurs déplacements par rapport à un espace vide, mais leur déplacement par rapport à quelque chose de concret [référentiel absolu]. L’éther apparaît donc comme le point de connexion entre les principes. Mais en appeler à l’éther n’est pas concevable pour Poincaré, car celui-ci, dépourvu de matérialité, ne peut exercer d’action mécanique. Aussi conclut-il : « En arrivera-t-on, jamais là ? Je n’ai pas cette espérance, […] et cependant elle n’est pas si absurde puisque d’autres l’ont eue ». Par exemple, si la théorie de Lorentz était vraie, le principe de Newton ne s’appliquerait pas à la matière seule et la différence ne serait pas très loin d’être accessible à l’expérience.
Relativité du mouvement et théorie de Lorentz
Poincaré précise ensuite que la relativité du mouvement a fait la preuve de sa validité et que « d’après les théories régnantes, la compensation ne serait qu’approchée ». En effet, le temps local, clé de voûte de la théorie de Lorentz de 1895, permet de satisfaire (au premier ordre en V/c) au PMRE en électrodynamique. Poincaré qualifie alors d’« illusoire » l’idée selon laquelle, en poussant les expériences, on pourrait déceler le mouvement de la matière par rapport à l’éther. Ce que nous avons de plus satisfaisant, c’est la théorie de Lorentz ; c’est sans contredit celle qui rend le mieux compte des phénomènes connus, celle qui met en lumière le plus grand nombre de rapports vrais, celle dont on retrouvera le plus de traces dans la construction définitive. Néanmoins elle a encore un défaut grave que j’ai signalé plus haut ; elle est contraire au principe de Newton de l’égalité de l’action et de la réaction ; ou plutôt ce principe, aux yeux de Lorentz, ne serait pas applicable à la matière seule ; pour qu’il fût vrai, il faudrait tenir compte des actions exercées par l’éther sur la matière, et de la réaction de la matière sur l’éther. Or, jusqu’à nouvel ordre, il est vraisemblable que les choses ne se passent pas ainsi. Les succès de la théorie de Lorentz (formule de Fresnel, effet Zeeman…) s’expliquent par l’hypothèse de charges électriques matérielles soumises à l’action des champs électrique et magnétique par la force de Lorentz. Dès lors, comment concevoir une action en retour de la matière sur l’éther ?
Réflexion philosophique sur la théorie physique
Dans la citation ci-dessus, où il mentionne les « rapports vrais », Poincaré assortit sa réflexion sur le principe de réaction d’une réflexion philosophique sur ce qu’est une théorie physique. C’est pourquoi, dans le texte du Jubilé de décembre 1900, Poincaré place d’emblée son introduction sur ce terrain épistémologique en s’intéressant aux qualités d’une théorie physique : « Les bonnes théories sont souples ». Les objections […] leur permettent de développer toute la vertu latente qui était en elles. Eh bien la théorie de Lorentz est de celles-là […].
Atténuation de l'objection
Voyons maintenant sur quelle base il pense « atténuer » l’objection, formulée dès 1895 et pour l’essentiel maintenue en août 1900, avec son article original rédigé spécialement pour le Jubilé, trois mois à peine après le congrès de Paris. qui est non nulle en régime variable. où (\vec{C}) désigne un vecteur constant. (dérivée par rapport au temps dans l’éq. (2)), est homogène à une quantité de mouvement et permet d’écrire l’éq. (4) sous la forme d’un bilan. De plus, cette quantité est liée au transport de l’énergie électromagnétique, comme Poincaré le remarque immédiatement en identifiant le second terme au « vecteur radiant de Poynting » [à un facteur c2 près] [Poincaré 1900a, 256]. Ainsi, à côté de la quantité de mouvement usuelle (\vec{p}\ =\,M\vec{V}) de la mécanique ordinaire, il faut considérer dans le bilan un terme additionnel homogène à une quantité de mouvement et proportionnel au courant d’énergie électromagnétique. Dans l’analyse qui précède nous avons fait jouer un rôle à ce que nous avons appelé la quantité de mouvement de l’énergie électromagnétique. C’est bien à la suite de l’équation (4) que s’applique cette remarque de Poincaré ; mais il a visiblement oublié de la faire au bon endroit puisque, huit pages plus loin, il pense l’avoir déjà faite alors qu’elle ne …
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Formulation Mathématique et Interprétation
Mathématiquement, le principe de moindre action s'exprime par le biais du calcul variationnel. L'action, notée S, est une intégrale fonctionnelle qui dépend du chemin suivi par le système. Pour une particule se déplaçant d'un point A à un point B, l'action est définie comme:
S = ∫[t1, t2] L(q(t), q̇(t), t) dt
où L est la fonction lagrangienne du système, q(t) représente les coordonnées généralisées, et q̇(t) leurs dérivées temporelles. Le principe stipule que le chemin réel est celui qui rend l'action S stationnaire, c'est-à-dire δS = 0. Cette condition conduit aux équations d'Euler-Lagrange, qui sont équivalentes aux équations de mouvement newtoniennes.
Applications du Principe de Moindre Action
Mécanique Classique
En mécanique classique, le principe de moindre action permet de dériver les équations du mouvement pour des systèmes complexes, tels que les pendules, les systèmes de ressorts et les mouvements de corps célestes. Il offre une alternative élégante à la formulation newtonienne, en particulier pour les systèmes avec des contraintes.
Électromagnétisme
En électromagnétisme, le principe de moindre action conduit aux équations de Maxwell, qui décrivent la propagation des champs électriques et magnétiques. L'action pour un champ électromagnétique peut être exprimée en termes de potentiel vecteur et scalaire, ce qui permet une formulation covariante des équations de Maxwell.
Relativité Générale
La relativité générale d'Einstein peut également être formulée à partir d'un principe de moindre action. L'action d'Einstein-Hilbert, qui dépend de la métrique de l'espace-temps, conduit aux équations d'Einstein qui décrivent la courbure de l'espace-temps en présence de matière et d'énergie.
Mécanique Quantique
En mécanique quantique, le principe de moindre action prend une forme plus subtile. L'intégrale de chemin de Feynman, qui est une généralisation du principe de moindre action, stipule que l'amplitude de probabilité pour une particule de se propager d'un point A à un point B est la somme de toutes les trajectoires possibles, chacune pondérée par un facteur exponentiel dépendant de l'action.
Avantages et Limites du Principe de Moindre Action
Avantages
- Universalité: Applicable à divers domaines de la physique.
- Élégance: Fournit une formulation concise et unifiée des lois physiques.
- Généralisation: Facilite la transition vers des théories plus avancées, comme la relativité et la mécanique quantique.
Limites
- Abstraction: Peut sembler éloigné de l'intuition physique directe.
- Complexité mathématique: Nécessite des outils mathématiques avancés, comme le calcul variationnel.
- Non-unicité: Dans certains cas, il peut exister plusieurs chemins qui rendent l'action stationnaire.
Le Principe de Moindre Action et l'Évolution de la Pensée Physique
Le principe de moindre action a non seulement influencé le développement des théories physiques, mais a également façonné notre compréhension de la nature. Il suggère que la nature "choisit" le chemin le plus économique, une idée qui a fasciné les physiciens et les philosophes.
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