Introduction
Depuis l'Antiquité, l'humanité s'est interrogée sur l'origine du monde et a cherché à comprendre les mécanismes qui régissent l'univers. Les observations du ciel, les interprétations ésotériques et les développements mathématiques ont contribué à l'évolution de nos connaissances. Cet article explore certains de ces aspects, en mettant l'accent sur les liens entre les mathématiques, la nature et la compréhension du monde qui nous entoure.
Les Origines de la Mesure et du Calcul
Observations Astronomiques et Interprétations
Dans les grandes civilisations antiques telles que la Mésopotamie, l’Égypte et la Grèce, l’origine du monde était souvent attribuée à une intervention divine. Les humains ne pouvaient qu’entrevoir le dessein du créateur et ce qu’il attendait d’eux. Les observations astronomiques étaient intimement liées à des interprétations magiques ou religieuses. Les positions relatives des astres et des étoiles étaient perçues comme des messages divins, permettant d’entrevoir l’avenir.
L’astrologie occidentale, dont les racines remontent à la Mésopotamie, entre le xixe siècle et le xviie siècle av. J.-C., et d’autres civilisations, comme les Chinois (vers 2 600 av. J.-C.), ont développé des interprétations astrologiques basées sur leurs propres observations astronomiques.
Le Système Sexagésimal et la Division du Temps
Il y a au moins cinq mille ans, les savants sumériens avaient remarqué que le nombre de jours dans l’année solaire est proche de 360. Ce nombre possède de nombreux diviseurs entiers, ce qui était appréciable à une époque où la division de deux nombres n’était envisageable que lorsque le résultat était un nombre entier.
L’année solaire, initialement définie à partir des équinoxes ou des solstices, compte actuellement 365,242 jours. Depuis l’Antiquité, elle a été divisée en douze mois d’environ trente jours, avec des années bissextiles pour compenser la dérive annuelle des dates. Simultanément, elle a été divisée en quatre saisons de trois mois chacune et chaque jour est divisé en 24 heures, chacune de soixante minutes, chacune de soixante secondes. La mesure des angles, liée depuis les origines à la définition de l’année solaire, se fait aussi en base sexagésimale. Dans un cercle, l’angle au centre qui intercepte le cercle entier mesure 360°.
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Les Nombres et la Philosophie
Les Pythagoriciens et les Nombres Incommensurables
Pour les philosophes de la Grèce antique, un nombre incommensurable était un nombre qui, une unité étant choisie, apparaissait dans la mesure d’une longueur sans être un nombre entier ni le rapport de deux nombres entiers. Le premier nombre irrationnel découvert est , qui mesure la longueur de la diagonale d’un carré de côté unité. La preuve de son irrationalité est attribuée à l’école de Pythagore.
La découverte de l’irrationalité de , puis celle de l’irrationalité du nombre d’or φ et le fait que φ soit lié à la construction du pentagone régulier ont profondément déstabilisé les philosophes de l’école pythagoricienne. Ils étaient persuadés que le monde n’était régi que par les nombres entiers et leurs rapports.
Le Nombre d'Or (φ)
Le nombre d’or, habituellement noté φ (lettre grecque « phi »), est la valeur numérique commune des quotients (a+b)/a et a/b dans la division d’un segment en extrême et moyenne raison. La relation (a+b)/a=a/b peut s’écrire a/a+b/a=a/b. Alors 1+1/φ=φ. En multipliant les deux termes par φ, on obtient φ+1=φ2, ce qui montre que φ est solution de l’équation trinôme du second degré : φ2-φ-1=0. Cette équation s’écrit φ(φ-1)=1. Les lycéens qui savent résoudre cette équation lui trouvent deux solutions : la première est , de valeur numérique approchée 1,618, et la seconde est , de valeur numérique approchée - 0,618. Nombre positif car quotient de deux nombres positifs, φ ne peut être que la première de ces deux solutions : .
Cette propriété implique que φ est le plus irrationnel des nombres irrationnels et explique pourquoi le nombre d’or intervient dans la phyllotaxie des végétaux.
L'Angle d'Or
En prenant comme unité le rayon du cercle, les mesures en radians des angles α et β doivent vérifier α + β = 2π et 2π/β = β/α = φ, ce qui implique que β = α x φ donc que α = β/φ. De 2π/β = φ, on déduit que β = 2π/φ et enfin que α = 2π/φ2 radians. En degrés, ces angles ont pour mesures respectives α=360°/φ2, de valeur approchée 137,5°, et β=360°/φ2, de valeur approché 222,5°. L’angle d’or est l’angle (AOB) ̂, de mesure approchée α=137,5°.
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Applications Géométriques et Naturelles
Le Format du Papier et le Rectangle d'Or
Le format d’un rectangle est le quotient de sa longueur par sa largeur. Le format de papier actuellement le plus utilisé dans le monde est le format A, décliné en feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, A5, etc. Le rapport longueur/largeur de toute feuille de format A est égal à , ce qui permet de la partager en deux feuilles de même format et d’aire moitié. Par définition, l’aire d’une feuille de format A0 est égale à 1 m².
Le rectangle d’or est un rectangle au format du nombre d’or : le rapport de sa longueur à sa largeur est égal à φ. La plus ancienne construction connue d’un rectangle d’or est celle d’Euclide.
Le Pentagone Régulier et le Pentagramme
Ce sont les philosophes de l’école pythagoricienne qui, au vie siècle avant J.-C., ont trouvé la première construction du pentagone régulier à la règle et au compas. Les connaissances de l’école pythagoricienne étaient réservées aux seuls initiés. La construction du pentagone régulier a rendu possible celle du dodécaèdre régulier convexe, dont les douze faces sont des pentagones réguliers.
Comme le triangle équilatéral et le carré, et à la différence de l’hexagone étoilé (formé de deux triangles équilatéraux imbriqués tête-bêche), le pentagramme peut se tracer sans lever le crayon. Les côtés du pentagramme forment au centre un petit pentagone régulier, dans lequel on peut de nouveau construire un pentagramme plus petit, et ainsi de suite jusqu’à l’infini.
Génétique et Probabilités : Équilibre de Hardy-Weinberg
Les Bases de la Génétique
Un gène est une unité d'information constituée par une séquence d'ADN. Il est responsable d'un caractère héréditaire se traduisant par une spécificité anatomique ou physiologique chez une espèce donnée. Un même gène admet en général plusieurs variants, mettons $p$, comme autant de déclinaisons possibles d'une matrice commune $G$. Dans son patrimoine génétique, un être humain détient deux exemplaires de chaque chromosome, dits homologues car portant les mêmes gènes. En particulier, il possède deux exemplaires du chromosome 9 : l'un provient de son père, l'autre de sa mère. De son père il a reçu une première version, ou premier allèle, du gène $G$ : potentiellement $A$, $B$ ou $O$. De sa mère, il a reçu une seconde version, ou second allèle, du gène $G$ : potentiellement encore $A$, $B$ ou $O$. Soit une combinatoire de $\binom{3}{2}=6$ paires d'allèles, ou génotypes, possibles : $$ {A,A},{B,B},{O,O},{A,B},{A,O},{B,O} $$
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Les individus $A!\parallel! A$, $B !\parallel! B$ et $O !\parallel! O$ sont homozygotes pour le gène $G$, à la différence des individus $A!\parallel! B$, $A!\parallel! O$ et $B!\parallel! O$, dits hétérozygotes. Un individu homozygote, par exemple de type $A!\parallel! A$, ne produira que des cellules reproductrices, les gamètes (spermatozoïdes ou ovules), possédant l'allèle $A$. Un individu hétérozygote, par exemple de type $A!\parallel!
Le Principe de Hardy-Weinberg
Le modèle construit par Hardy et Weinberg pour expliquer la stabilité de la structure génétique d'une population au cours des générations repose sur des hypothèses supplémentaires. La première d'entre elles est la panmixie. Elle consiste à considérer que les individus s’accouplent sans tenir aucun compte de leur génotype ni même de leur phénotype (qui en est la partie visible). Du point de vue des probabilités, nous poserons qu'au moment d'une fécondation, les événements « le père transmet l'allèle $Gi$ » et « la mère transmet l'allèle $Gj$ » sont indépendants.
Dans un cadre idéal, les probabilités $Pi$ sont stables dès le départ, tandis que les probabilités $P{{i,j}}$ se stabilisent à partir de la première génération filiale, $F_1$.
Limites et Applications
Ce principe tout théorique est rarement respecté dans la réalité, précisément parce que son cadre d'application est trop étroit. En pratique, nous étudions un échantillon de population. Concrètement, on observera plutôt des écarts au modèle de Hardy-Weinberg : à de grandes échelles de temps, les populations, de tailles aussi grandes soient-elles, n'ont pas de structure allélique stable. Ceci démontre que des forces évolutives sont à l'œuvre : sélection, migrations, mutations, dérive génétique.
Troubles du Spectre de l’Autisme (TSA) et Dépistage Génétique
Les recherches sur l’origine génétique des troubles du spectre de l’autisme (TSA) se sont significativement développées ces dernières années. Les troubles du spectre de l’autisme (TSA) se caractérisent par des difficultés d’apprentissage et d’insertion sociale. Ce trouble majeur de la communication peut prendre différentes formes sans être nécessairement associé à un déficit intellectuel.
Une étude a mis en évidence l’intérêt d’étendre le dépistage génétique à un nombre plus important de patients souffrant de TSA avec déficit intellectuel. Les équipes ont constaté que dans plusieurs cas, aucune consultation ni test génétique n’avaient été proposés aux patients. Les patients se sont vus proposer différents tests génétiques, dont l’Hybridation Génomique Comparative sur Réseau d’ADN (CGH-array) et le séquençage nouvelle génération (NGS - New Generation Sequencing).
Cette étude conduit à proposer pour l’ensemble des enfants atteints de TSA une stratégie diagnostique reposant dans un premier temps sur l’étude des gènes les plus fréquemment rencontrés dans les TSA avec déficit intellectuel.
Division Cellulaire, Télomères et Cancer
Le nombre de divisions cellulaires est contrôlé et non indéfini. Pour éviter l’apparition d’un clone muté, le nombre de divisions est contrôlé par des séquences d’ADN répétitives ne contenant pas de gènes et appelé « télomères ». À chaque fois que la cellule recopie son ADN, avant de se diviser, elle perd un petit bout de télomère. Ainsi au bout d’un certain nombre de divisions, les télomères n’existent plus ce qui stoppe la division cellulaire.
Il existe une enzyme permettant de maintenir la taille des télomères et permettant ainsi des divisions infinies. Elle ne s’exprime que dans les cellules souches de la moelle osseuse et dans les cellules germinales à l’origine des spermatozoïdes des ovules. Dans les cellules cancéreuses, la télomérase est particulièrement active ce qui explique la croissance rapide et incontrôlée des cellules.
Mutations Génétiques et Maladies
Types de Mutations
Il existe plusieurs types de mutations génétiques, notamment :
- les mutations silencieuses qui ne se voient pas et dont la cause provient de la redondance du code génétique.
- la mutation faux-sens : elle code pour un sens légèrement différent du sens de départ. La mutation provoque le remplacement d’un acide aminé par un autre et la protéine peut perdre partiellement ou totalement sa fonction.
- la mutation non-sens est une mutation qui n’a pas de sens ! Elle ne code pour rien ! L’apparition d’un codon stop provoque l’arrêt de la synthèse de la protéine.
Exemples de Maladies Génétiques
- Phénylcétonurie : La phénylcétonurie est une maladie génétique rare, liée à un déficit en phénylalanine hydroxylase, entraînant l’accumulation de phénylalanine dans le sang et le cerveau.
- Bêta Thalassémie : La bêta thalassémie est une maladie héréditaire récessive. Il existe plus de 200 anomalies génétiques atteignant le gène bêta, la plupart sont des mutations ponctuelles.
- Leucémie Myéloïde Chronique : La leucémie myéloïde chronique est caractérisée par une production excessive et persistante au sein de la moelle osseuse de globules blancs. Cette maladie est liée à l’apparition d’une anomalie liée à la translocation réciproque de portions des deux chromosomes dans les cellules souches de la moelle osseuse.
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