Vous organisez une fête avec une vingtaine d'amis. Seriez-vous surpris d'apprendre qu'il y a une chance non négligeable que deux personnes partagent la même date d'anniversaire ? Ce phénomène contre-intuitif est connu sous le nom de "paradoxe des anniversaires". Ce n'est pas un paradoxe au sens strict, mais plutôt un résultat probabiliste qui surprend souvent. En effet, dans un groupe d'environ 23 personnes, il y a plus de 50% de chances que deux d'entre elles soient nées le même jour. Avec 50 personnes, la probabilité dépasse même 97%.
Calcul de la probabilité
Pour comprendre ce paradoxe, il est essentiel de plonger dans le calcul des probabilités. Pour un groupe de N personnes, calculons d'abord la probabilité P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour différent.
Il y a 365 jours possibles pour l'anniversaire de chaque personne (en ignorant les années bissextiles). Ainsi, pour la première personne, il y a 365 dates possibles, pour la seconde aussi, de même que pour la troisième et toutes les autres. Le nombre total de combinaisons possibles pour les anniversaires de N personnes est donc de 365N.
Maintenant, déterminons le nombre de cas où tous les anniversaires sont différents. Pour la première personne, il y a 365 choix. Pour la seconde, il ne reste plus que 364 jours disponibles, pour la troisième 363, et ainsi de suite. Pour la Nième personne, il ne reste que (365-N+1) jours disponibles. Le nombre total de combinaisons où tous les anniversaires sont différents est donc : 365 * 364 * 363 * … * (365-N+1), ce qui peut également s'écrire ( \frac{365!}{(365-N)!} ).
La probabilité P que tous les anniversaires soient différents est donc le rapport entre le nombre de cas favorables (anniversaires tous différents) et le nombre de cas possibles (toutes les combinaisons d'anniversaires) :
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P = ( \frac{365!}{(365-N)! \cdot 365^N} )
Le seuil des 50%
La probabilité que deux personnes au moins partagent la même date d'anniversaire est alors de 1 - P.
Si on prend N = 23, on trouve P ≈ 0,49. Cela signifie qu'il y a environ 49% de chances que tous les anniversaires soient différents dans un groupe de 23 personnes. Par conséquent, il y a environ 51% de chances qu'au moins deux personnes partagent la même date d'anniversaire.
Plus le nombre de personnes dans le groupe augmente, plus la probabilité que deux personnes partagent la même date d'anniversaire augmente. À partir de 50 personnes, il n'y a que 3% de chances que tous les anniversaires soient différents !
Généralisation du paradoxe
On peut généraliser ce paradoxe en remplaçant 365 par n'importe quel nombre K, représentant le nombre de possibilités (par exemple, le nombre de jours dans une année, le nombre d'heures dans une année, etc.), et en considérant un groupe de taille N.
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Prenons un exemple précis : il y a 365 jours dans l'année et 24 heures par jour, soit un total de 8760 tranches horaires pour naître dans l'année. Dès que vous réunissez une centaine de personnes, il y a plus de 50% de chances que deux personnes soient nées le même jour dans la même tranche horaire !
Hypothèses et considérations
Ce raisonnement repose sur l'hypothèse que les N personnes ont leur jour de naissance distribué de façon uniforme dans l'ensemble des possibles. En réalité, les naissances ne sont pas réparties uniformément tout au long de l'année. Certaines dates sont plus fréquentes que d'autres, comme le 7 mai, qui est le jour d'anniversaire le plus fréquent. Les dates les moins fréquentes sont les jours fériés comme le 25 décembre, le 1er janvier, le 1er novembre ou le 14 juillet. Cette non-uniformité peut légèrement influencer la probabilité, mais le paradoxe reste valable. D'autant que, si l'on considère que les naissances ne sont pas également réparties tout au long de l'année, réunir une vingtaine d'élèves devrait suffire.
Applications concrètes
Ce paradoxe a des applications concrètes dans divers domaines, notamment en informatique. Par exemple, lors de l'utilisation de fonctions de hachage comme le "MD5 checksum", qui associent un identifiant numérique à un fichier, il est crucial de s'assurer que la probabilité que deux fichiers différents aient le même identifiant soit suffisamment faible. Cela détermine la taille K de l'ensemble des identifiants. Si vous avez N fichiers, il faut prendre K suffisamment grand pour que p(N,K) soit suffisamment faible. Dès que N devient grand, il faut aller chercher des K astronomiques pour avoir des probabilités de conflit disons de 1% !
Démonstration simplifiée
Pour comprendre plus simplement, considérons une classe de 2 élèves. Le second a 364 chances sur 365 d'être né à une date différente du premier : la probabilité qu'ils soient nés des jours différents est ainsi de 364/365. Si un troisième élève les rejoint, il ne reste plus que 363 possibilités pour ce dernier d'avoir une date de naissance différente de celles de ses deux camarades. Si un quatrième enfant arrive, celui-ci n'a plus que 362 dates « libres » possibles.
Pour que toutes ces conditions surviennent en même temps, c'est-à-dire pour que les deux premiers aient des anniversaires différents entre eux, mais aussi différents des suivants, il faut multiplier ces probabilités entre elles. Et pour que le produit de toutes ces probabilités soit égal à 50 %, il faut aller jusqu'au 23e élève, soit : (364/365) x (363/365) x (362/365)… x (343/365) = 0,49 = 49 %. Dans une classe de 23 élèves, il y a donc 49 % de probabilités pour qu'aucun enfant n'ait la même date de naissance ; soit 51 % de probabilités que deux élèves soient nés le même jour.
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